AG和记手动时期的计算工具通常没有多少复杂的制作原理许多经典的计算工具之所以强大譬如算盘是由于依托了强大的使用方法工具本身并不复杂甚至用现在的线c;是遵从着极简主义的。正因如此在手动时期人们除了动手还需要动脑甚至动口念口诀必要时还得动笔记录中间结果人工计算成本很高。到了17世纪人们终于开始尝试使用机械装置完成一些简单的数学运算加减乘除——可不要小看了只能做四则运算的机器计算量大时如果数值达到上万、上百万手工计算十分吃力而且容易出错这些机器可以大大减轻人工负担、降低出错概率。

　　机械装置的历史其实相当久远在我国黄帝和蚩尤打仗时就发明了指南车东汉张衡的地动仪、浑天仪、记里鼓车能自动计算行车里程北宋时期苏颂、韩公廉发明的水运仪象台天文钟数不胜数其中好多发明事实上已经实现了某些特定的计算功能。然而所谓工具都是应需求而生的我国古代机械水平再高对计算尤其是大批量计算没有需求也难为无米之炊真正的通用机械计算设备还得在西方进入资本主义后逐渐出现。

　　那个时候西方资产阶级为了夺取资源、占据市场不断扩大海外贸易航海事业蓬勃兴起航海就需要天文历表。在那个没有电子计算机的时代一些常用的数据通常要通过查表获得比如cos27°不像现在这样掏出手机打开计算器APP就能直接得到答案从事特定行业、需要这些常用数值的人们就会购买相应的数学用表从简单的加法表到对数表和三角函数表等等以供查询。而这些表中的数值是由数学家们借助简单的计算工具如纳皮尔棒一个个算出来的算完还要核对。现在想想线c;脑力活硬生生沦为苦力活。而但凡是人为计算总难免会有出错而且还不少见常常酿成航海事故。机械计算设备就在这样的迫切的需求背景下应运而生的。

　　契克卡德是现今公认的机械式计算第一人你也许没听说过他但肯定知道开普勒吧对就是那个天文学家开普勒。契克卡德和开普勒出生在同一城市两人既是生活上的好基友又是工作上的好伙伴。正是开普勒在天文学上对数学计算的巨大需求促使着契克卡德去研发一台可以进行四则运算的机械计算器AG和记。

　　Rechenuhr支持六位整数计算主要分为加法器、乘法器和中间结果记录装置三部分。其中位于机器底座的中间结果记录装置是一组简单的置数旋钮纯粹用于记录中间结果仅仅是为了省去计算过程中笔和纸的参与没什么可说的我们详细了解一下加法器和乘法器的实现原理和使用方法。

　　乘法器部分其实就是对纳皮尔棒详见上一篇《手动时期的计算工具》的改进简单地将乘法表印在圆筒的十个面上机器顶部的旋钮分有10个刻度可以将圆筒上代表0~9的任意一面转向使用者依次旋转6个旋钮即可完成对被乘数的置数。横向有2~9八根挡板可以左右平移露出需要显示的乘积。以一张纪念邮票上的图案为例被乘数为100722乘以4就移开标数4的那根挡板露出100722各位数与4相乘的积04、00、00、28、08、08心算将其错位相加得到最终结果402888。

　　这一过程最关键的就是通过齿轮传动实现的自动进位。Rechenuhr使用单齿进位机构通过在齿轮轴上增加一个小齿实现齿轮之间的传动。加法器内部的6个齿轮各有10个齿分别表示0~9当齿轮从指向数字9的角度转动到0时轴上突出的小齿将与旁边代表更高位数的齿轮啮合带动其旋转一格36°。

　　相信聪明的读者已经可以想到减法怎么做了没错就是逆时针旋转加法器的旋钮单齿进位机构同样可以完成减法中的借位操作。而用这台机器进行除法就有点“死脑筋”了你需要在被除数上一遍又一遍不断地减去除数自己记录减了多少次、剩余多少分别就是商和余数。

　　由于乘法器单独只能做多位数与一位数的乘法加法器通常还需要配合乘法器完成多位数相乘。被乘数先与乘数的个位相乘乘积置入加法器再与乘数十位数相乘乘积后补1个0加入加法器再与百位数相乘乘积后补2个0加入加法器以此类推最终在加法器上得到结果。

　　总的来说Rechenuhr结构比较简单但也照样称得上是计算机史上的一次伟大突破。而之所以被称为“计算钟”是因为当计算结果溢出时机器还会发出响铃警告在当时算得上十分智能了。可惜的是契克卡德制造的机器在一场火灾中烧毁一度鲜为人知后人从他在1623年和1624年写给开普勒的信中才有所了解并复制了模型机。

　　1639年帕斯卡的父亲开始从事税收方面的工作需要进行繁重的数字相加明明现在Excel里一个公式就能搞定的事在当时却是件大耗精力的苦力活。为了减轻父亲的负担1642年起年方19的帕斯卡就开始着手制作机械式计算器。刚开始的制作过程并不顺利请来的工人只做过家用的一些粗糙机械做不来精密的计算器帕斯卡只好自己上手亲自学习机械制作。

　　现在想想那个生产力落后的时代这些天才线c;他们不仅可以是数学家、物理学家、天文学家、哲学家甚至还可能是一顶一的机械师。

　　作为一台加法器Pascaline只实现了加减法运算按理说原理应该非常简单用契克卡德的那种单齿进位机构就可以实现。而帕斯卡起初的设计确实与单齿进位机构的原理相似尽管他不知道有Rechenuhr的存在——长齿进位机构——齿轮的10个齿中有一个齿稍长正好可以与旁边代表更高数位的齿轮啮合实现进位使用起来与契克卡德机的加法器一样正转累加反转累减。

　　但这一类进位机构有着一个很大的缺陷——齿轮传动的动力来自人手。同时进行一两个进位还好若遇上连续进位的情况你可以想象如果9999991从最低位一直进到最高位进位齿全部与高位齿轮啮合齿轮旋转起来相当吃力。你说你力气大照样能转得动旋钮没问题可齿轮本身却不一定能承受住这么大的力搞不好容易断裂。

　　这种只有天才才能设计出来的装置被以后一百多年的许多机械师所称赞而帕斯卡本人对自己的发明就相当满意他号称使用sautoir进位机构哪怕机器有一千位、一万位都可以正常工作。连续进位时用到了多米诺骨效应理论上确实可行但正是由于sautoir装置的存在齿轮不能反转每次使用前必须将每一位注意是每一位的齿轮转到9而后末位加1用连续进位完成置零——一千位的机器做出来恐怕也没人敢用吧

　　a-b的补码就是a的补码与b的和如此减法便可以转化为加法。

　　Pascaline在显示数字的同时也显示着其所对应的补九码每个轮子身上一周分别印着9~0和0~9两行数字下面一行该位上的表示原数上面一行表示补码。当轮子转到位置7时补码2自然显示在上面。

　　帕斯卡加了一块可以上下移动的挡板在进行加法运算时挡住表示补码的上面一排数进行减法时就挡住下面一排原数。

　　置零后将挡板移到下面露出上面表示补码的那排数字

　　整个过程用户看不到下面一排数字其实玄机就在里头原理挺简单09一轮回却很有意思。

　　由于Pascaline只能加减不能乘除对此莱布尼茨提出过一系列改进的建议终究却发现并没有什么卵用。就好比自己写一篇文章很简单要修改别人的文章就麻烦了。那么既然改进不成就重新设计一台吧

　　为了实现乘法莱布尼茨以其非凡的创新思维想出了一种具有划时代意义的装置——梯形轴stepped drum后人称之为莱布尼茨梯形轴。莱布尼茨梯形轴是一个圆筒圆筒表面有九个长度递增的齿第一个齿长度为1第二个齿长度为2以此类推第九个齿长度为9。这样当梯形轴旋转一周时与梯形轴啮合的小齿轮旋转的角度就可以因其所处位置分别有0~9十个位置不同而不同。代表数字的小齿轮穿在一个长轴上长轴一端有一个示数轮显示该数位上的累加结果。置零后滑动小齿轮使之与梯形轴上一定数目的齿相啮合比如将小齿轮移到位置1则只能与梯形轴上长度为9的齿啮合当梯形轴旋转一圈小齿轮转动1格示数轮显示1再将小齿轮移动到位置3则与梯形轴上长度为7、8、9的三个齿啮合小齿轮就能转动3格示数轮显示4以此类推。

　　除了梯形轴莱布尼茨还提出了把计算器分为可动部分和不动部分的思想这一设计也同样被后来的机械计算器所沿用。Stepped Reckoner由不动的计数部分和可动的输入部分组成机器版本众多以德意志博物馆馆藏的复制品为例计数部分有16个示数轮支持16位结果的显示输入部分有8个旋钮支持8位数的输入里头一一对应地安装着8个梯形轴这些梯形轴是联动的随着机器正前方的手柄一同旋转。机器左侧的手柄借助蜗轮结构实现可动部分的左右平移手柄每转一圈输入部分移动一个数位的距离。

　　进行加法运算时先在输入部分通过旋钮置入被加数计算手柄旋转一周被加数即显示到上方的计数部分再将加数置入计算手柄旋转一周就得到计算结果。减法操作类似计算手柄反转即可。

　　进行乘法运算时在输入部分置入被乘数计算手柄旋转一周被乘数就会显示到计数部分计算手柄旋转两周就会显示被乘数与2的乘积因此在乘数是一位数的情况下乘数是多少计算手柄旋转多少圈即可。那么如果乘数是多位数呢这就轮到移位手柄登场了以笔者撰写该部分内容的日期7月28日为例假设乘数为728计算手柄先旋转8周得到被乘数与8的乘积而后移位手柄旋转一周可动部分左移一个数位输入部分的个位数与计数部分的十位数对齐计算手柄旋转2周相当于往计数部分加上了被乘数与20的乘积依法炮制可动部分再左移计算手柄旋转7周即可得到最终结果。

　　可动部分右侧有个大圆盘外圈标有0~9里圈有10个小孔与数字一一对应在对应的小孔中插入销钉可以控制计算手柄的转动圈数以防操作人员转过头。在进行除法时这个大圆盘又能显示计算手柄所转圈数AG和记。

　　进行除法运算时一切操作都与乘法相反。先将输入部分的最高位与计数部分的最高位或次高位对齐逆时针旋转计算手柄旋转若干圈后会卡住可在右侧大圆盘上读出圈数即为商的最高位逆时针旋转位移手柄可动部分右移一位同样操作得到商的次高位数以此类推最终得到整个商计数部分剩下的数即为余数。

　　最后提一下进位机构Stepped Reckoner的进位机构比较复杂但基本就是单齿进位的原理。然而莱布尼茨没有实现连续进位当产生连续进位时机器顶部对应的五角星盘会旋转至角朝上的位置无进位情况下是边朝上需要操作人员手动将其拨动完成向下一位的进位。

　　以往的机械式计算器通常只是发明者自己制作了一台或几台原型帕斯卡倒是有赚钱的念头生产了20台Pascaline但是根本卖不出去这些机器往往并不实惠也不好用。托马斯是将机械式计算器商业化并取得成功的第一人他不仅是个牛逼的企业家创办了当时法国最大的保险公司更是Arithmometer本身的发明者。从商之前托马斯在法国军队从事过几年部队补给方面的工作需要进行大量的运算正是在这期间萌生了制作计算器的念头。他从1818年开始设计于1820年制成第一台次年生产了15台往后持续生产了约100年。

　　Arithmometer基本采用莱布尼茨的设计同样使用梯形轴同样分为可动和不动两部分。

　　所不同的是Arithmometer的手柄在加减乘除情况下都是顺时针旋转示数轮的旋转方向通过与不同方向的齿轮啮合而改变。

　　莱布尼茨梯形轴虽然好用但由于其长筒状的形态机器的体积通常很大某些型号的Arithmometer摆到桌子上甚至要占掉整个桌面而且需要两个人才能安全搬动亟需一种更轻薄的装置代替梯形轴。

　　这一装置就是后来的可变齿数齿轮variable-toothed gear在17世纪末到18世纪初有很多人尝试研制限于当时的技术条件没能成功。直到19世纪70年代真正能用的可变齿数齿轮才由鲍德温和奥德纳分别独立制成。该装置圆形底盘的边缘有着9个长条形的凹槽每个凹槽中卡着可伸缩的销钉销钉挂接在一个圆环上转动圆环上的把手即可控制销钉的伸缩这样就可以得到一个具有0~9之间任意齿数的齿轮。

　　齿轮转一圈旁边的被动轮就转动相应的格数相当于把梯形轴压成了一个扁平的形状。梯形轴必须并排放置而可变齿数齿轮却可以穿在一起大大缩减了机器的体积和重量。此类计算机器在1885年投产之后风靡世界往后几十年内总产量估计有好几万台电影《横空出世》里陆光达计算数据时所用的机器就是其中之一。

　　左手拨动可变齿数齿轮上的把手进行置数右手旋转计算右侧手柄进行计算。

　　欣赏了这么多机器好像总感觉哪里不对似乎与我们今天使用计算器的习惯总有那么一道屏障……细细一琢磨好像全是旋钮没有按键啊摔

　　好在那个年代的人们发现旋钮置数确实不太方便最早提出按键设计的应该是美国的一个牧师托马斯·希尔Thomas Hill计算机史上有关他的记载貌似不多好在还能找到他1857年的专利其中详细描述了按键式计算器的工作原理。起初菲尔特只是根据希尔的设计简单地将按键装置装到Pascaline上第一台Comptometer就这么诞生了。

　　Comptometer采用的是“全键盘”设计也就是希尔提出的设计每个数位都有0~9十个按键某个数位要置什么数就按下该数位所对应的一列按键中的一个。每列按键都装在一根杠杆上杠杆前端有一个叫做Column Actuator的齿条按下按键带动杠杆摆动与Column Actuator啮合的齿轮随之旋转一定角度。0~9十个按键按下时杠杆摆动的幅度递增示数轮随之转动的幅度也递增如此就实现了按键操作到齿轮旋转的转化。

　　1889年菲尔特又发明了世界上第一台能在纸带上打印计算结果的机械式计算器——Comptograph相当于给计算器引入了存储功能。

　　1901年人们开始给一些按键式计算器装上电动马达计算时不再需要手动摇杆冠之名曰“电动计算机”而此前的则称为“手摇计算机”。

　　1902年出现了将键盘简化为“十键式”的道尔顿加法器不再是每一位数需要一列按键大大精简了用户界面。

　　最后让我们一起来欣赏一下美国摄影师Kevin Twomey的摄影作品吧这些图片均由不同焦距的多张照片经景深处理工具Helicon Focus拼合而成十分精美。

　　国内也有一网友从意大利淘了一台1960年的电动计算机并录制了使用演示视频。从视频中可以直观地感受到除法比加、减、乘慢得多而我们现在其实已经知道了其中的原因。

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　　人类文明作为一个整体其历史上的众多成果不可能是由单个人在一夜之间做到的在一段时期内对于某一类计算工具往往会出现不少相似的版本它们也许是相互借鉴、改进也许是相对独立产生的而有幸载入计算工具发展史的发明家其实有很多要一一例举他们的发明与思想着实不在一篇概述性文章的能力范围之内笔者精力也毕竟有限因此本文只罗列具有代表性的或划时代的计算工具。